So, wir machen jetzt weiter mit dem nächsten Kapitel, nämlich mit Analysis im Endeminzum an R.

Also, wir haben es gemeint, Rn ist R Kreuz R Kreuz Kreuz R, n mal.

Und wir haben uns hier immer über Funktionen nachgedacht, die hier von R nach R gingen, das war bisher.

Und jetzt wollen wir uns die Frage stellen, was, wenn wir zum Beispiel eine Funktion haben, die vom R2 nach R geht.

Also, was für Funktionen sind das, oder vielleicht auch in höheren Dimensionen von Rn nach Rm.

Also, wie kann man sich das vorstellen, welche Anwendungen hat es sich so anzuschauen.

Und dann werden wir anfangen über Verallgemeinungen von Begriffen zu sprechen, über die wir schon in einer Dimension gesprochen haben, wie man das dann in höheren Dimensionen macht.

Nehmen wir mal den Spezialfall R2 nach R.

Also, wir setzen zwei Komponenten ein.

F von x, y, also x und y, also zwei Komponenten, das hier ist in R2.

Und daraus kommt eine reelle Zahl, das heißt, das hier ist eine reelle Zahl.

Das heißt, man kann sich das zum Beispiel so visualisieren.

Hier ist x und y und zu jedem Punkt x und y, also zu diesem Punkt hier oder zu diesem Punkt, geben wir einen Wert f von x, y.

Also, zum Beispiel eine Höhe.

Ja, also diese Höhe, die ist jetzt irgendwie hier so drüber.

Und das ist jetzt hier dieser Punkt.

Das heißt, dieser Punkt hier, der hier im Raum schwebt, das ist der Punkt x, y, und jetzt mach ich es mal ein bisschen konkreter.

Also, das ist jetzt y1, nennen wir das.

Das ist x1.

Und dieser Punkt ist dann x1, y1 und dann f von x1, y1 in R3.

Also, das ist sozusagen ein Punkt im Grafen der Funktion.

Im Graf ist es nicht gezeichnet, aber hier sieht es genauso aus.

Also, hier ist irgendwie y2, hier ist x2 und auch der hat hier irgendeine Höhe.

Diese Höhe ist dann f von x2, y2.

Das ist dieser Punkt im Raum.

Da kann man sich vorstellen, dass hier im Zimmer, der schwebt hier quasi im Zimmer, x2, y2 und f von x2, y2.

Und jetzt machen wir das für jeden Punkt, den es hier gibt.

Und das liefert uns dann, wenn wir zu jedem Punkt hier unten eine Höhe abgeben, bekommen wir quasi so einen fliegenden Teppich.

Oder irgendwie so ein Objekt, wo diese Punkte alle drauf liegen.

Also, hier, keine Ahnung, zwischen sowas hier.

Ich versuche es mal so ein bisschen zu skizzieren.

Hier und so. Das läuft jetzt nicht so gut.

Das sind so Linien von Konstanten x oder Konstanten y.

Ich hoffe, dass dieses Kippe so ein bisschen verdeutlicht, was hier passiert.

Also, ganz grob, was hier passiert.

Also, zu jedem, ich mache es mal für ein Beispiel, zu jedem Punkt bekommen wir dann, also jeden Punkt in zwei Komponenten, also x und y,

bekommen wir hier einen Punkt auf diesem fliegenden Teppich oder auf diese Gebirgslandschaft.

Man kann das sagen, das ist sozusagen die Landschaft, ein Höhenrelief.

Und das kann man jetzt so visualisieren.

In R3 ist der Graph von F.

Es ergibt Sinn, dass es in R3 ist, weil ein Graph einer Funktion von anderen Komponenten in R, also der Graph von einer Funktion von R nach R, der ist in zwei Dimensionen.

Das heißt, ein Graph von einer Funktion von zwei Dimensionen in eine Dimension muss dann in R3 sein.

Also, wie kann man das noch visualisieren?

F von R2 nach R.

Visualisierung in R2, das geht auch gerade noch so.

Dann machen wir x und y hier hin.

Das heißt, jeder Punkt hier hat eine Zahl.

Wir können es hier richtig so machen, dieser Punkt hat jetzt den Wert F von x1, y1.

Wenn hier x1 ist und hier y1.

Und hier ist vielleicht ein x2 und ein y2.